平面向量的所有公式归纳

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magrnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a， b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

向量的加法

1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则

AB+BC=AC.

a+b=(x+x'， yty').

a+0=0+a=a.

2、向量加法的运算律:

交换律: atb=b+a ;

结合律:(atb)+c=a+(b+c).

向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b， b=-a， a+b=0.0的反向量为0

AB一AC=CB.即“共同起点，指向被减”

a=(x，y) b=(x’，y')则a-b=(x-x’，y-y')。

向量的数乘

实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a。当入>0时，入a的方向和a的方向相同，当入<0 a的方向和a的方向相反，当入 =0时，入a>

用坐标表示的情况下有:入AB=入(x2-x1， y2-y1)=(入 x2-入x1，A y2-入 y1)

设入、u是实数，那么满足如下运算性质:

(入 u )a= 入(u a)

(入+ u )a= A a+ u a

入 (a土b)= A a+入 b

(一 入 )a=一 (入 a) =入(一 a)

|入 a /=|入 l|al

向量的向量积

1、定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b.若a、b不共线，则a×b的模是:l a×b l =la/- lblsin ;a×b的方向是:垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线，则a×b=0。

2、向量的向量积性质:

l a×b l是以a和b为边的平行四边形面积。

aX a=0.

a ll b <=>a×b=0.

3、向量的向量积运算律

aXb=—bXa ;

( 入 a)×b=入(a×b)=a× (入 b);

(at+b)× c=a×ctb × c.

注:向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、l l a l - l b l l ≤l a+b |≤l a l +l b l

1当且仅当a、b反向时，左边取等号;

当且仅当a、b同向时，右边取等号.

2、l l a l - l b l l ≤l a-b l≤l a l +l b l

1当且仅当a、b同向时，左边取等号;

当且仅当a、 b反向时，右边取等号。

定比分点

定比分点公式(向量P1P=入向量PP2)

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数入使向量P1P=入向量PP2入叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则有

OP=(OP1+入OP2)(1+A);(定比分点向量公式)x=(x1+入x2)/(1+入)，

y=(y1+入y2)/(1+入).(定比分点坐标公式)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。